Математическая задачка « Разное

2 апреля 2009

Математическая задачка

написал Figaroo в рубрике Разное @ 22:17

Дано: рекурсивно-заданная последовательность вещественных чисел:
$a_{n}=\frac{1}{1 + a_{n-1}}$ ,
где $a_{n}$ — n-ный член этой последовательности, причём $a_{0}=0$ .

Несложно посчитать все члены этой последовательности:
$a_{1}=1$ ,

$a_{2}=\frac{1}{1 + a_{1}}=\frac{1}{2}$ ,

$a_{3}=\frac{1}{1 + a_{2}}=\frac{1}{1 + \frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$ ,

$a_{4}=\frac{1}{1 + a_{3}}=\frac{1}{1 + \frac{2}{3}}=\frac{3}{5}$ ,

и так далее:
$0, 1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{5}{8}, \frac{8}{13}, \frac{13}{21}, \frac{21}{34}, \frac{34}{55}, \frac{55}{89}, ...$

Вопрос: сходится ли ряд из членов данной последовательности? Если да, какова его сумма?

UPD: ответ и решение в комментариях. Спасибо Bloodthrist'у.

задачки интересное

Комментарии (5)

Комментарии (5) »

И идиоту ясно, что предел этого ряда равен бесконечности, т.е. ряд не сходится.

«Несложно посчитать все члены этой последовательности»
Интересно было бы увидеть, как же несложно посчитать например 10000-ый член этой последовательности. :)

Комментарий by Dmitry — 8 апреля 2009 @ 21:27
Никто почему-то только доказать не может.))) Кто-то говорит: «идиоту ясно, что сходится», кто-то – «идиоту ясно, что не сходится».

Комментарий by Figaroo — 8 апреля 2009 @ 22:29
На самом деле ряд сходится, его сумма равна малому числу Фидия.

Числители и знаменатели дробей ряда – числа Фибоначчи. И каждая дробь представляется как $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ , где $F_{n}$ – это n-ное число Фибоначчи.

Для нахождения суммы решим простое уравнение, корень которого будет суммой ряда:

$x_{n} = x_{n-1}$

$x = \frac{1}{1 + x}$

$x^2 + x - 1 = 0$

$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Комментарий by Figaroo — 10 апреля 2009 @ 15:01
Ответ неверный, и решение тоже. Ты привёл решение для задачи про сходимость самой последовательности и её предел. Ряд же является сходящимся, если существует конечный предел его частичных сумм при n->infinity, и в случае существования, этот предел называется суммой ряда. Ряд может быть сходящимся, только если общий член ряда (в нашем случае это последовательность, заданная в условиях задачи) стремится к нулю при n->infinity (но стоит заметить, что общий член ряда может стремится к нулю, а ряд не сходится, то есть признак является односторонним, а именно необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда)
Так вот найдём предел этой последовательности ещё раз.
lim (n-infinity, a[n]) = 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+…)))))) (бесконечная цепная дропь)
В силу бесконечности данной цепной дроби, 1/(1+a[infinity]) = a[infinity], обозначим a[infinity] за x (для удобства). Тогда получим простое:
x = 1/(1+x)
x^2 + x – 1 = 0
И корнем этого уравнения будут два икса: (sqrt(5) – 1) / 2 и (-sqrt(5) – 1) / 2; где sqrt(5) – квадратный корень из 5
Второй икс отбрасывается, так как все члены последовательности положительны, следовательно, он не может являться пределом, а вот корень (sqrt(5) – 1) / 2 таковым и является. Не составляет труда убедиться, что он отличен от нуля, так как sqrt – функция возрастающая и sqrt(5)>sqrt(1). То есть мы имеем невыполнение необходимого признака сходимости ряда, так как общий член его не сходится к нулю => ряд не сходится, и сумму искать не надо.

Нетрудно показать, что найденное Figaroo значение точно не является суммой ряда, не решая задачу. В последовательности членов ряда все члены неотрицательны, следовательно, последовательность частичных сумм ряда возрастает, и не может превзойти своего предела, если он существует (мы, впрочем, выше убедились, что его не существует, но сейчас мы об этом «не знаем»). Сумма ряда и есть предел частичных сумм, однако ниже покажем, что 0+1+1/2+2/3+3/5 > (sqrt(5)-1)/2:
Итак, сравним частичную сумму первых 5 членов ряда с предполагаемой суммой ряда, то есть сравним 0+1+1/2+2/3+3/5 и (sqrt(5)-1)/2
Приведём все дроби к знаменателю 30:
(30+15+20+18)/30 нужно сравнить с (15*sqrt(5) – 15) / 30
Домножим обе части на 30:
30+15+20+18 нужно сравнить с 15*sqrt(5) – 15
Добавим 15 в обе части неравенства:
30+15+15+20+18 нужно сравнить с 15*sqrt(5)
30+15+15+20+18 = 98, а 15*sqrt(5) (sqrt(5)-1)/2. Таким образом, частичная сумма 5 неотрицательных членов ряда превзошла сумму ряда, чего быть не может.

Итак, во втором куске я показал, что Figaroo ошибся по крайней мере со значением суммы ряда, при этом не опираясь на решение задачи. В первом куске я её полностью решил, и получил ответ, что ряд вообще не сходится.
З.Ы. Чёрт, кусок, тупо опровергающий решение Figaroo оказался длиннее полного решения задачи, мать его :fuck: :cool:

Комментарий by Bloodthrist — 11 апреля 2009 @ 05:33
Bloodthrist, ты прав. Чё-то я ступил жёстко. :))
$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ – это предел последовательности.
Спасибо за решение. Кстати, в комментах можно использовать bb-тэг [*latex][*/latex] (звёздочки убрать) для написания математических формул на LaTeX’е.

Комментарий by Figaroo — 11 апреля 2009 @ 17:01