Комментарии: Математическая задачка http://blogfigaroo.ru/2009/04/misc/matematicheskaya-zadachka/ Блог о web-программировании и разработке новой системы управления сайтами Figaroo Site Engine. Tue, 26 Jul 2011 15:00:10 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.3.1 Автор: Figaroo http://blogfigaroo.ru/2009/04/misc/matematicheskaya-zadachka/comment-page-1/#comment-23 Figaroo Sat, 11 Apr 2009 14:01:55 +0000 http://blogfigaroo.ru/?p=303#comment-23 Bloodthrist, ты прав. Чё-то я ступил жёстко. :)) [latex]x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}[/latex] - это предел последовательности. Спасибо за решение. Кстати, в комментах можно использовать bb-тэг [*latex][*/latex] (звёздочки убрать) для написания математических формул на LaTeX'е. Bloodthrist, ты прав. Чё-то я ступил жёстко. :))
x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} - это предел последовательности.
Спасибо за решение. Кстати, в комментах можно использовать bb-тэг [*latex][*/latex] (звёздочки убрать) для написания математических формул на LaTeX'е.

]]> Автор: Bloodthrist http://blogfigaroo.ru/2009/04/misc/matematicheskaya-zadachka/comment-page-1/#comment-21 Bloodthrist Sat, 11 Apr 2009 02:33:56 +0000 http://blogfigaroo.ru/?p=303#comment-21 Ответ неверный, и решение тоже. Ты привёл решение для задачи про сходимость самой последовательности и её предел. Ряд же является сходящимся, если существует конечный предел его частичных сумм при n->infinity, и в случае существования, этот предел называется суммой ряда. Ряд может быть сходящимся, только если общий член ряда (в нашем случае это последовательность, заданная в условиях задачи) стремится к нулю при n->infinity (но стоит заметить, что общий член ряда может стремится к нулю, а ряд не сходится, то есть признак является односторонним, а именно необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда) Так вот найдём предел этой последовательности ещё раз. lim (n-infinity, a[n]) = 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))))) (бесконечная цепная дропь) В силу бесконечности данной цепной дроби, 1/(1+a[infinity]) = a[infinity], обозначим a[infinity] за x (для удобства). Тогда получим простое: x = 1/(1+x) x^2 + x - 1 = 0 И корнем этого уравнения будут два икса: (sqrt(5) - 1) / 2 и (-sqrt(5) - 1) / 2; где sqrt(5) - квадратный корень из 5 Второй икс отбрасывается, так как все члены последовательности положительны, следовательно, он не может являться пределом, а вот корень (sqrt(5) - 1) / 2 таковым и является. Не составляет труда убедиться, что он отличен от нуля, так как sqrt - функция возрастающая и sqrt(5)>sqrt(1). То есть мы имеем невыполнение необходимого признака сходимости ряда, так как общий член его не сходится к нулю => ряд не сходится, и сумму искать не надо. Нетрудно показать, что найденное Figaroo значение точно не является суммой ряда, не решая задачу. В последовательности членов ряда все члены неотрицательны, следовательно, последовательность частичных сумм ряда возрастает, и не может превзойти своего предела, если он существует (мы, впрочем, выше убедились, что его не существует, но сейчас мы об этом "не знаем"). Сумма ряда и есть предел частичных сумм, однако ниже покажем, что 0+1+1/2+2/3+3/5 > (sqrt(5)-1)/2: Итак, сравним частичную сумму первых 5 членов ряда с предполагаемой суммой ряда, то есть сравним 0+1+1/2+2/3+3/5 и (sqrt(5)-1)/2 Приведём все дроби к знаменателю 30: (30+15+20+18)/30 нужно сравнить с (15*sqrt(5) - 15) / 30 Домножим обе части на 30: 30+15+20+18 нужно сравнить с 15*sqrt(5) - 15 Добавим 15 в обе части неравенства: 30+15+15+20+18 нужно сравнить с 15*sqrt(5) 30+15+15+20+18 = 98, а 15*sqrt(5) (sqrt(5)-1)/2. Таким образом, частичная сумма 5 неотрицательных членов ряда превзошла сумму ряда, чего быть не может. Итак, во втором куске я показал, что Figaroo ошибся по крайней мере со значением суммы ряда, при этом не опираясь на решение задачи. В первом куске я её полностью решил, и получил ответ, что ряд вообще не сходится. З.Ы. Чёрт, кусок, тупо опровергающий решение Figaroo оказался длиннее полного решения задачи, мать его :fuck: :cool: Ответ неверный, и решение тоже. Ты привёл решение для задачи про сходимость самой последовательности и её предел. Ряд же является сходящимся, если существует конечный предел его частичных сумм при n->infinity, и в случае существования, этот предел называется суммой ряда. Ряд может быть сходящимся, только если общий член ряда (в нашем случае это последовательность, заданная в условиях задачи) стремится к нулю при n->infinity (но стоит заметить, что общий член ряда может стремится к нулю, а ряд не сходится, то есть признак является односторонним, а именно необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда)
Так вот найдём предел этой последовательности ещё раз.
lim (n-infinity, a[n]) = 1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))))) (бесконечная цепная дропь)
В силу бесконечности данной цепной дроби, 1/(1+a[infinity]) = a[infinity], обозначим a[infinity] за x (для удобства). Тогда получим простое:
x = 1/(1+x)
x^2 + x - 1 = 0
И корнем этого уравнения будут два икса: (sqrt(5) - 1) / 2 и (-sqrt(5) - 1) / 2; где sqrt(5) - квадратный корень из 5
Второй икс отбрасывается, так как все члены последовательности положительны, следовательно, он не может являться пределом, а вот корень (sqrt(5) - 1) / 2 таковым и является. Не составляет труда убедиться, что он отличен от нуля, так как sqrt - функция возрастающая и sqrt(5)>sqrt(1). То есть мы имеем невыполнение необходимого признака сходимости ряда, так как общий член его не сходится к нулю => ряд не сходится, и сумму искать не надо.

Нетрудно показать, что найденное Figaroo значение точно не является суммой ряда, не решая задачу. В последовательности членов ряда все члены неотрицательны, следовательно, последовательность частичных сумм ряда возрастает, и не может превзойти своего предела, если он существует (мы, впрочем, выше убедились, что его не существует, но сейчас мы об этом "не знаем"). Сумма ряда и есть предел частичных сумм, однако ниже покажем, что 0+1+1/2+2/3+3/5 > (sqrt(5)-1)/2:
Итак, сравним частичную сумму первых 5 членов ряда с предполагаемой суммой ряда, то есть сравним 0+1+1/2+2/3+3/5 и (sqrt(5)-1)/2
Приведём все дроби к знаменателю 30:
(30+15+20+18)/30 нужно сравнить с (15*sqrt(5) - 15) / 30
Домножим обе части на 30:
30+15+20+18 нужно сравнить с 15*sqrt(5) - 15
Добавим 15 в обе части неравенства:
30+15+15+20+18 нужно сравнить с 15*sqrt(5)
30+15+15+20+18 = 98, а 15*sqrt(5) (sqrt(5)-1)/2. Таким образом, частичная сумма 5 неотрицательных членов ряда превзошла сумму ряда, чего быть не может.

Итак, во втором куске я показал, что Figaroo ошибся по крайней мере со значением суммы ряда, при этом не опираясь на решение задачи. В первом куске я её полностью решил, и получил ответ, что ряд вообще не сходится.
З.Ы. Чёрт, кусок, тупо опровергающий решение Figaroo оказался длиннее полного решения задачи, мать его :fuck: :cool:

]]> Автор: Figaroo http://blogfigaroo.ru/2009/04/misc/matematicheskaya-zadachka/comment-page-1/#comment-19 Figaroo Fri, 10 Apr 2009 12:01:18 +0000 http://blogfigaroo.ru/?p=303#comment-19 На самом деле ряд сходится, его сумма равна малому числу Фидия. Числители и знаменатели дробей ряда - числа Фибоначчи. И каждая дробь представляется как [latex]\frac{F_{n+1}}{F_n}[/latex], где [latex]F_{n}[/latex] - это n-ное число Фибоначчи. Для нахождения суммы решим простое уравнение, корень которого будет суммой ряда: [latex]x_{n} = x_{n-1}[/latex] [latex]x = \frac{1}{1 + x}[/latex] [latex]x^2 + x - 1 = 0[/latex] [latex]x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}[/latex] На самом деле ряд сходится, его сумма равна малому числу Фидия.

Числители и знаменатели дробей ряда - числа Фибоначчи. И каждая дробь представляется как \frac{F_{n+1}}{F_n}, где F_{n} - это n-ное число Фибоначчи.

Для нахождения суммы решим простое уравнение, корень которого будет суммой ряда:

x_{n} = x_{n-1}

x = \frac{1}{1 + x}

x^2 + x - 1 = 0

x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

]]> Автор: Figaroo http://blogfigaroo.ru/2009/04/misc/matematicheskaya-zadachka/comment-page-1/#comment-17 Figaroo Wed, 08 Apr 2009 19:29:07 +0000 http://blogfigaroo.ru/?p=303#comment-17 Никто почему-то только доказать не может.))) Кто-то говорит: "идиоту ясно, что сходится", кто-то - "идиоту ясно, что не сходится". Никто почему-то только доказать не может.))) Кто-то говорит: "идиоту ясно, что сходится", кто-то - "идиоту ясно, что не сходится".

]]> Автор: Dmitry http://blogfigaroo.ru/2009/04/misc/matematicheskaya-zadachka/comment-page-1/#comment-16 Dmitry Wed, 08 Apr 2009 18:27:01 +0000 http://blogfigaroo.ru/?p=303#comment-16 И идиоту ясно, что предел этого ряда равен бесконечности, т.е. ряд не сходится. "Несложно посчитать все члены этой последовательности" Интересно было бы увидеть, как же несложно посчитать например 10000-ый член этой последовательности. :) И идиоту ясно, что предел этого ряда равен бесконечности, т.е. ряд не сходится.

"Несложно посчитать все члены этой последовательности"
Интересно было бы увидеть, как же несложно посчитать например 10000-ый член этой последовательности. :)

]]>